Question

【題目】已知兩動(dòng)圓和（），把它們的公共點(diǎn)的軌跡記為曲線，若曲線與軸的正半軸的交點(diǎn)為，且曲線上的相異兩點(diǎn)滿足：.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）證明直線恒經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）設(shè)兩動(dòng)圓的公共點(diǎn)為，由橢圓定義得出曲線是橢圓，并得出、、的值，即可得出曲線的方程；

（2）求出點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，對(duì)直線的斜率是否存在分兩種情況討論，在斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，并將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合條件并代入韋達(dá)定理求出的值，可得出直線所過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)，在直線的斜率不存在時(shí)，可得出直線的方程為，結(jié)合這兩種情況得出直線所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）利用韋達(dá)定理求出面積關(guān)于的表達(dá)式，換元，然后利用基本不等式求出的最大值.

（1）設(shè)兩動(dòng)圓的公共點(diǎn)為，則有：．

由橢圓的定義可知的軌跡為橢圓，，，所以曲線的方程是：；

（2）由題意可知：，設(shè)，，

當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立方程組：

，把②代入①有：，

③，④，

因?yàn)?/span>，所以有，

，把③④代入整理：

，（有公因式）繼續(xù)化簡(jiǎn)得：

，或（舍），

當(dāng)的斜率不存在時(shí)，易知滿足條件的直線為：

過(guò)定點(diǎn)，綜上，直線恒過(guò)定點(diǎn)；

（3）面積，

由第（2）小題的③④代入，整理得：，

因在橢圓內(nèi)部，所以，可設(shè)，

，，（時(shí)取到最大值）．

所以面積的最大值為．