Question

已知函數(shù)f（x）=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（1）討論函數(shù)h（x）=

f(x)

x

的單調(diào)性；
（2）如果對(duì)任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可討論函數(shù)h（x）=

f(x)

x

的單調(diào)性；
（2）求出g（x）_max=g（2）=1，當(dāng)x∈[

1

2

，2]時(shí)，f（x）=

a

x

+xlnx恒成立，等價(jià)于a≥x-x²lnx恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)u（x）=x-x²lnx在區(qū)間[

1

2

，2]上取得最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍可求．

解答： 解：（1）h（x）=

f(x)

x

=

a

x2

+lnx，h′（x）=

x2-2a

x3

，
①a≤0，h′（x）≥0，函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
②a＞0時(shí)，h'（x）＞0，則x∈（

2a

，+∞），函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（

2a

，+∞），
h'（x）＜0，則x∈（0，

2a

），函數(shù)h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

2a

），．
（2）g（x）=x³-x²-3，g′（x）=3x（x-

2

3

），

x	1 2	( 1 2 ， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，2)	2
g′（x）	0	-	0	+
g（x）	-3	遞減	極小值	遞增	1

由上表可知，g（x）在x=2處取得最大值，即g（x）_max=g（2）=1
所以當(dāng)x∈[

1

2

，2]時(shí)，f（x）=

a

x

+xlnx≥1恒成立，等價(jià)于a≥x-x²lnx恒成立，
記u（x）=x-x²lnx，所以a≥u（x）_max，u′（x）=1-x-2xlnx，可知u′（1）=0，
當(dāng)x∈（

1

2

，1）時(shí)，1-x＞0，2xlnx＜0，則u′（x）＞0，∴u（x）在x∈（

1

2

，2）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，1-x＜0，2xlnx＞0，則u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上單調(diào)遞減；
故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)u（x）在區(qū)間[

1

2

，2]，上取得最大值u（1）=1，
所以a≥1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和函數(shù)構(gòu)造法，訓(xùn)練了利用分離變量法求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．