Question

18、已知x=1是函數(shù)f（x）=x³-ax（a為參數(shù)）的一個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求a的值；
（2）求x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件，可求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用f'（1）=0建立方程求出a的值；
（2）得用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)在x∈[0，2]上的單調(diào)性確定出最值取到的位置，解出其值即可

解答：解：（1）由已知f'（x）=3x²-a，…（2分）
因?yàn)閤=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f'（1）=0．
所以a=3．…（4分）
（2）解f'（x）=3x²-3＞0，得x＞1或x＜-1，
所以，（-∞，-1），（1，+∞）是函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間；（-1，1）函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間．…（8分）
所以，x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（1）=-2；…（10分）
又f（0）=0，f（2）=2，所以x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為f（2）=2．…（12分）
所以，x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值與最小值分別為2和-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，解題的關(guān)鍵是理解并能熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)確定出函數(shù)最值的位置，利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的最值是導(dǎo)數(shù)的重要運(yùn)用，作為求最值的重要工具，掌握求導(dǎo)的方法可以使得解此類題順利．