已知x=1是函數(shù)f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一個(gè)極值點(diǎn),其中m,n∈R,m<0.
(Ⅰ)求m與n的關(guān)系表達(dá)式;
(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3m,求m的取值范圍.
分析:(Ⅰ)求出f′(x),因?yàn)閤=1是函數(shù)的極值點(diǎn),所以得到f'(1)=0求出m與n的關(guān)系式;
(Ⅱ)令f′(x)=0求出函數(shù)的極值點(diǎn),討論函數(shù)的增減性確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3m即f′(x)>3m代入得到不等式即3m(x-1)[x-(1+
2
m
)]>3m,又因?yàn)閙<0,分x=1和x≠1,當(dāng)x≠1時(shí)g(t)=t-
1
t
,求出g(t)的最小值.要使
2
m
<(x-1)-
1
x-1
恒成立即要g(t)的最小值>
2
m
,解出不等式的解集求出m的范圍.
解答:解:(Ⅰ)f′(x)=3mx2-6(m+1)x+n.
因?yàn)閤=1是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),所以f'(1)=0,即3m-6(m+1)+n=0.
所以n=3m+6.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)[x-(1+
2
m
)]
當(dāng)m<0時(shí),有1>1+
2
m
,當(dāng)x變化時(shí)f(x)與f'(x)的變化如下表:
精英家教網(wǎng)
由上表知,當(dāng)m<0時(shí),f(x)在(-∞,1+
2
m
)單調(diào)遞減,在(1+
2
m
,1)單調(diào)遞增,在(1,+∞)單調(diào)遞減.
(Ⅲ)由已知,得f′(x)>3m,即3m(x-1)[x-(1+
2
m
)]>3m,
∵m<0.∴(x-1)[x-1(1+
2
m
)]<1.(*)
10x=1時(shí).(*)式化為0<1怛成立.
∴m<0.
20x≠1時(shí)∵x∈[-1,1],∴-2≤x-1<0.
(*)式化為
2
m
<(x-1)-
1
x-1

令t=x-1,則t∈[-2,0),記g(t)=t-
1
t
,
則g(t)在區(qū)間[-2,0)是單調(diào)增函數(shù).∴g(t)min=g(-2)=-2-
1
-2
=-
3
2

由(*)式恒成立,必有
2
m
<-
3
2
?-
4
3
<m,又m<0.∴-
4
3
<m<0.
綜上10、20知-
4
3
<m<0.
點(diǎn)評(píng):考查學(xué)生利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的能力,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值和單調(diào)性的能力,以及掌握不等式恒成立的條件.
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(1)求m與n的關(guān)系式;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè)函數(shù)函數(shù)g(x)=
1
e
x2gex-
1
3
x3-x2,φ(x)=
2
3
x3-x2;試比較g(x)與φ(x)的大小.

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