Question

22、已知x=1是函數(shù)f（x）=x³-nx²+3（m+1）x+n+1（m、n∈R，m≠0）的一個極值點．
（1）求m與n的關(guān)系表達式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）因為x=1是原方程的一個極值點有f′（1）=0得到m與n的關(guān)系表達式；
（2）令f′（1）=0得到函數(shù)駐點x=1或x=m+1，利用駐點分區(qū)間當m+1＜1即m＜0時和當m+1＞1即m＞0時討論函數(shù)的增減性即可得到單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）∵f′（x）=3x²-2nx+3（m+1）
∴由x=1是原方程的一個極值點有f′（1）=0
∴3-2n+3m+3=0
（2）由（1）有f′（x）=3x²-（3m+6）x+3（m+1）
=3[x²-（m+2）x+（m+1）]
=3（x-1）[x-（m+1）]
由f′（x）=0有x=1或x=m+1
當m+1＜1即m＜0時，由下表
∴原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，m+1），（1，+∞）
當m+1＞1即m＞0時，下表有

∴原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1），（m+1，+∞）
∴綜上所述，當m＜0時，原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，m+1），（1，+∞），
當m＞0時，原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1），（m+1，+∞）

點評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性的能力．