Question

已知函數(shù)f（x）=2cos（

π

2

-

π

4

x-

π

4

）．
（1）求函數(shù)f（x）圖象的對稱軸；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象上所有的點向左平移1個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)y=g（x）+k在（-2，4）上有兩個零點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,余弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）由題意可得函數(shù)f（x）=2cos（

π

4

x-

π

4

），令

π

4

x-

π

4

=kπ，k∈z，求得x的解析式，可得函數(shù)f（x）圖象的對稱軸．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，函數(shù)g（x）=2cos（

π

4

x），由條件可得y=g（x）的圖象和直線y=-k在（-2，4）上有兩個交點．數(shù)形結合可得0＜-k＜2，由此求得k的范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2cos（

π

2

-

π

4

x-

π

4

）=2cos（

π

4

-

π

4

x）=2cos（

π

4

x-

π

4

），
令

π

4

x-

π

4

=kπ，k∈z，求得x=4k+1，故函數(shù)f（x）圖象的對稱軸為x=4k+1，k∈z．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象上所有的點向左平移1個單位長度，得到函數(shù)g（x）=2cos[

π

4

（x+1）-

π

4

]=2cos（

π

4

x） 的圖象，
由函數(shù)y=g（x）+k在（-2，4）上有兩個零點，可得y=g（x）的圖象和直線y=-k在（-2，4）上有兩個交點．
如圖所示，
故有0＜-k＜2，求得-2＜k＜0．

點評：本題主要考查函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象的對稱性，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于基礎題．