Question

1．已知函數(shù)y=f（x）既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)，函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=e^x的圖象關于直線函數(shù)y=x對稱．若直線x=$\sqrt{2}$t（t∈R）與函數(shù)y=f（x）的圖象和函數(shù)y=g（x）的圖象的交點分別為P，Q，則當|PQ|達到最小時，t的值為 （　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出f（x）和g（x）的解析式，求出|PQ|的表達式，構造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，研究函數(shù)單調性和最值即可得到結論．

解答 解：∵y=f（x）既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)，
∴f（x）=x²，
∵函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=e^x的圖象關于直線函數(shù)y=x對稱，
∴g（x）=lnx，
則|PQ|=（$\sqrt{2}$t）²-ln$\sqrt{2}$t=2t²-ln$\sqrt{2}$-lnt，
設h（t）=2t²-ln$\sqrt{2}$-lnt，t＞0，
則h′（t）=4t-$\frac{1}{t}=\frac{4{t}^{2}-1}{t}$，
由h′（t）＞0得t$＞\frac{1}{2}$，此時函數(shù)單調遞增，
由h′（t）＜0得0＜t＜$\frac{1}{2}$，此時函數(shù)單調遞減，
即當t=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)h（t）取得極小值同時也是最小值，
即t=$\frac{1}{2}$，
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)最值的求解和應用，求出函數(shù)的解析式，構造函數(shù)求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值是解決本題的關鍵．