Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

x2-1

，
（1）求函數(shù)f（x）的定義域、值域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間并就其中一種情況加以證明．

Answer 1

（1）∵f（x）=

1

x2-1

，
∴x²-1≠0，即x≠±1，即函數(shù)的定義域為{x|x≠±1}．
則f（x）≠0，即f（x）值域為{x|x≠0}；
（2）∵函數(shù)的定義域為{x|x≠±1}．
∴定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∵f（-x）=

1

x2-1

=f（x），
∴函數(shù)f（x）的是偶數(shù)；
（3）設(shè)t=x²-1，則y=

1

t

，
∵當(dāng)x＞1時，函數(shù)t=x²-1單調(diào)遞增，此時y=

1

t

單調(diào)遞減，∴此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)0＜x＜1時，函數(shù)t=x²-1單調(diào)遞增，此時y=

1

t

單調(diào)遞減，∴此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＜-1時，函數(shù)t=x²-1單調(diào)遞減，此時y=

1

t

單調(diào)遞減，∴此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)-1＜x≤0時，函數(shù)t=x²-1單調(diào)遞減，此時y=

1

t

單調(diào)遞減，∴此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
綜上函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（-1，0]，
遞減區(qū)間為（1，+∞）和（0，1）．