【題目】已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱,線段的垂直平分線分別與,交于,兩點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)過點(diǎn)的動直線與點(diǎn)的軌跡交于,兩點(diǎn),在軸上是否存在定點(diǎn),使以為直徑的圓恒過這個點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(1)本問考查曲線軌跡方程的求法,畫出圖形分析,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知,再根據(jù),于是得到所以點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓,可以求出軌跡方程;(2)首先考慮當(dāng)直線斜率存在時,方程可設(shè)為,設(shè),聯(lián)立直線與橢圓方程,消去y,得到關(guān)于x的一元二次方程后,列出,假設(shè)在軸上是否存在定點(diǎn),使以為直徑的圓恒過這個點(diǎn),則即于是經(jīng)計算可以求出m的值,再檢驗(yàn)當(dāng)斜率不存在時也符合上面求出的值.
試題解析:(I)由題意得
點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓
點(diǎn)的軌跡的方程為
(II)直線的方程可設(shè)為,設(shè)
聯(lián)立可得
由求根公式化簡整理得
假設(shè)在軸上是否存在定點(diǎn),使以為直徑的圓恒過這個點(diǎn),則
即
求得
因此,在軸上存在定點(diǎn),使以為直徑的圓恒過這個點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某港口有一個泊位,現(xiàn)統(tǒng)計了某月100艘輪船在該泊位?康臅r間(單位:小時),如果?繒r間不足半小時按半小時計時,超過半小時不足1小時按1小時計時,以此類推,統(tǒng)計結(jié)果如表:
停靠時間 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 | 5.5 | 6 |
輪船數(shù)量 | 12 | 12 | 17 | 20 | 15 | 13 | 8 | 3 |
(Ⅰ)設(shè)該月100艘輪船在該泊位的平均?繒r間為小時,求的值;
(Ⅱ)假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位?小時,且在一晝夜的時間段中隨機(jī)到達(dá),求這兩艘輪船中至少有一艘在?吭摬次粫r必須等待的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列命題:
① “若,則有實(shí)根”的逆否命題為真命題;
②命題“”為真命題的一個充分不必要條件是;
③命題“,使得”的否定是真命題;
④命題函數(shù)為偶函數(shù),命題函數(shù)在上為增函數(shù),
則為真命題.
其中,正確的命題是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=lnx-x+a+1.
(1)若存在x∈(0,+∞),使得f(x)≥0成立,求a的取值范圍;
(2)求證:在(1)的條件下,當(dāng)x>1時, x2+ax-a>xlnx+成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x(ln x-ax)有兩個極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. (-∞,0) B.
C. (0,1) D. (0,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱臺ABCDEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求證:BF⊥平面ACFD;
(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓的左焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),的最大值是,的最小值是,且滿足.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為,線段的垂直平分線與軸、軸分別交于,兩點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),記的面積為,的面積為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,b,c.向量, ,
且.
(1)求A的大小;
(2)若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD的底面為矩形,AB=,BC=1,E,F分別是AB,PC的中點(diǎn),DE⊥PA.
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求證:平面PAC⊥平面PDE.
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