Question

【題目】如圖，四棱錐P－ABCD的底面為矩形，AB＝，BC＝1，E，F分別是AB，PC的中點(diǎn)，DE⊥PA.

(1)求證：EF∥平面PAD；

(2)求證：平面PAC⊥平面PDE.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）取PD中點(diǎn)G，根據(jù)平幾知識(shí)可得AEFG為平行四邊形，即得EF∥AG，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論（2）由矩形性質(zhì)得DE⊥AC.又DE⊥PA.因此由線面垂直判定定理得DE⊥平面PAC.再根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論

試題解析：證明　(1)如圖，取PD中點(diǎn)G，連接AG，FG，

因?yàn)?/span>F，G分別為PC，PD的中點(diǎn)，所以FG∥CD，且FG＝CD.

又因?yàn)?/span>E為AB中點(diǎn)，所以AE∥CD，且AE＝CD.

所以AE∥FG，AE＝FG.

所以四邊形AEFG為平行四邊形．

所以EF∥AG，又EF平面PAD，

AG平面PAD，

所以EF∥平面PAD.

(2)設(shè)AC∩DE＝H，由△AEH∽△CDH及E為AB中點(diǎn)，得＝＝，

又因?yàn)?/span>AB＝，BC＝1，

所以AC＝，AH＝AC＝.

所以＝＝，又∠BAC為公共角，所以△HAE∽△BAC.

所以∠AHE＝∠ABC＝90°，

即DE⊥AC.

又DE⊥PA，PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以DE⊥平面PAC.

又DE平面PDE，

所以平面PAC⊥平面PDE.