Question

如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點． 
（1）求證：EF∥平面PAD； 
（2）求證：EF⊥CD；
（3）若∠PDA=45°，求證：EF⊥平面PCD．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取PD中點Q，連AQ、QF，易證EF∥AQ，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可證得EF∥面PAD；
（2）欲證CD⊥EF，可先證直線與平面垂直，CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知CD⊥面PAD，從而得到CD⊥EF；
（3）先證明△PAD為等腰直角三角形，又Q是PD中點可得EF⊥PD；再證明EF⊥CD，利用直線和平面垂直的判定定理證得EF⊥平面PCD．

解答： 證明：（1）取PD中點Q，連AQ、QF，則AE∥QF
∴四邊形AEFQ為平行四邊形
∴EF∥AQ
又∵AQ在平面PAD內(nèi)，EF不在平面PAD內(nèi)
∴EF∥面PAD；
（2）∵CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A，
PA在平面PAD內(nèi)，AD在平面PAD內(nèi)，
∴CD⊥面PAD，
又∵AQ在平面PAD，
∴CD⊥AQ；
∵EF∥AQ，
∴CD⊥EF；
（3）∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PA⊥AD．
又∠PDA=45°，∴△PAD為等腰直角三角形．
又Q是PD中點，∴AQ⊥PD，又AQ∥EF，∴EF⊥PD．
又ABCD為矩形，∴AB⊥AD．
又AB⊥PA，AD∩PA=A，∴AB⊥平面PAD．
∵AQ?平面PAD，
∴AB⊥AQ，又AB∥CD，AE∥MN，∴EF⊥CD．
又∵PD∩CD=D，∴EF⊥平面PCD．

點評：本題考查直線與平面平行，直線和平面垂直的判定定理的應(yīng)用以及直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力．