Question

已知函數(shù)f（x）=lnex+1，數(shù)列{a_n}中，

1

e

＜a₁≤1，a_n=

1

e

f（a_n-1）（n≥2），（其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）．
求證：（1）f（x）≤ex；
（2）

1

e

＜a_n≤1；
（3）（a₁-a₂）a₂+（a₂-a₃）a₃+…（a_n-a_n+1）a_n+1＜

e2-1

2e2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）令h（x）=f（x）-ex=lnex+1-ex（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)求得其最大值為0，即f（x）-ex≤0，可得f（x）≤ex；
（2）由（1）可知f（x）=lnex+1≤ex成立，即

1

e

ln(e2x)≤x成立，然后構(gòu)造函數(shù)g(x)=

1

e

ln(e2x)，得到a_n=g（a_n-1）≤a_n-1，從而得到故a_n≤a_n-1≤…≤a₁≤1．再由g（x）為增函數(shù)，得當(dāng)x＞

1

e

時，g（x）＞g（

1

e

）=

1

e

，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明an＞

1

e

；
（3）由(ak-ak+1)ak+1≤(ak-ak+1)•

ak+ak+1

2

=

ak2-ak+12

2

，直接把要證的不等式左邊放大，結(jié)合（2）中的結(jié)論得答案．

解答： 證明：（1）令h（x）=f（x）-ex=lnex+1-ex（x＞0），則h′(x)=

1-ex

x

，
由h′（x）=0，可得x=

1

e

，當(dāng)x∈(0，

1

e

)時，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)；當(dāng)x∈(

1

e

，+∞)時，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)，
∴h(x)max=h(

1

e

)=0，即f（x）-ex≤0，f（x）≤ex；
（2）由（1）可知f（x）=lnex+1≤ex成立，即

1

e

ln(e2x)≤x成立，
令g(x)=

1

e

ln(e2x)，則a_n=

1

e

f（a_n-1）=

1

e

ln(e2an-1)=g(an-1)，
∴a_n=g（a_n-1）≤a_n-1，
故a_n≤a_n-1≤…≤a₁≤1．
又∵g（x）為增函數(shù)，故當(dāng)x＞

1

e

時，g（x）＞g（

1

e

）=

1

e

．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明an＞

1

e

．
①當(dāng)n=1時，由已知a1＞

1

e

，當(dāng)n=2時，a2=g(a1)＞g(

1

e

)=

1

e

；
假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即ak＞

1

e

，可得g(ak)＞

1

e

，
故ak+1=g(ak)＞

1

e

也成立，
由①②可知，an＞

1

e

．
綜上可知，

1

e

＜a_n≤1；
（3）∵(ak-ak+1)ak+1≤(ak-ak+1)•

ak+ak+1

2

=

ak2-ak+12

2

，
∴（a₁-a₂）a₂+（a₂-a₃）a₃+…（a_n-a_n+1）a_n+1
≤

1

2

[(a12-a22)+(a22-a32)+…+(an2-an+12)]
=

1

2

(a12-an+12)＜

1

2

(1-

1

e2

)=

e2-1

2e2

．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解答此題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)g(x)=

1

e

ln(e2x)，訓(xùn)練了利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，解答此題要求考生具有較強(qiáng)的邏輯思維能力和靈活應(yīng)變能力，難度較大．