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如圖,F(xiàn)是定直線l外的一個定點,C是l上的動點,有下列結論:若以C為圓心,CF為半徑的圓與l交于A、B兩點,過A、B分別作l的垂線與圓

C過F的切線交于點P和點Q,則P、Q必在以F為焦點,l為準線的同一條拋物線上.
(Ⅰ)建立適當的坐標系,求出該拋物線的方程;
(Ⅱ)對以上結論的反向思考可以得到另一個命題:
“若過拋物線焦點F的直線與拋物線交于P、Q兩點,
則以PQ為直徑的圓一定與拋物線的準線l相切”請
問:此命題是否正確?試證明你的判斷;
(Ⅲ)請選擇橢圓或雙曲線之一類比(Ⅱ)寫出相應的命題并
證明其真假.(只選擇一種曲線解答即可,若兩種都選,則以第一選擇為評分依據)
(1)(2)該命題為真命題(3)見解析
(Ⅰ)過F作l的垂線交l于K,以KF的中點為原點,KF所在的直線為x軸建立平面直角坐標系如圖1,并設|KF|=p,則可得該該拋物線的
方程為.
(Ⅱ)該命題為真命題,證明如下:
如圖2,設PQ中點為M,P、Q、M在拋物線
準線l上的射影分別為A、B、D,
∵PQ是拋物線過焦點F的弦,
∴ |PF|=|PA|,|QF|=|QB|,又|MD|是梯形APQB
的中位線,
  ∴ .
∵M是以PQ為直徑的圓的圓心,∴圓M與l相切.
(Ⅲ)選擇橢圓類比(Ⅱ)所寫出的命題為:
“過橢圓一焦點F的直線與橢圓交于P、Q兩點,
則以PQ為直徑的圓一定與橢圓相應的準線l相離”.
此命題為真命題……10分
證明如下:
證明:設PQ中點為M,橢圓的離心率為e,
則0<e<1,P、Q、M在相應準線l上的射影分別為A、B、D,
,∴;同理得.
∵|MD|是梯形APQB的中位線,
.
∴圓M與準線l相離.
選擇雙曲線類比(Ⅱ)所寫出的命題為:
“過雙曲線一焦點F的直線與雙曲線交于P、Q兩點,則以PQ為直徑的圓一定與雙曲線相應的準線l相交”. 此命題為真命題,證明如下:……………………11分
證明:設PQ中點為M,雙曲線的離心率為e,則e>1,P、Q、M在相應準線l上的射影分別為A、B、D,
,∴;同理得.
∵|MD|是梯形APQB的中位線,
.
∴圓M與準線l相交.
練習冊系列答案
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