【題目】已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.

（1）證明：直線AB過定點：

（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.

【答案】(1)見詳解；(2) 3或.

【解析】

可用解析法和幾何法證明。解析法可設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為，，然后求出A，B兩點處的切線，兩條切線交于直線之上，所以交點的縱坐標(biāo)為

聯(lián)立方程可解和的關(guān)系。之后用兩點式求出直線方程，最后根據(jù)直線方程求出它所過的定點.(2)應(yīng)用四邊形面積公式，代入化簡出關(guān)于和的對稱式。然后分情況討論求解。如果不知道四面下面積公式則可以將四邊形分成兩個三角形求面積之后做和，但會稍微麻煩一些。（此題若用向量積的概念則更為容易）

(1)證明：設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為，，因為，所以，

則切線DA為：---------①，切線DB為：--------②，

代入得，得，因為故消去得交點的縱坐標(biāo)，

因為DA和DB的交點D為直線上的動點，所以有，，

直線AB為，點A，B在曲線上，則有，整理得，即.當(dāng)，時無論,取何值時，此等式均成立。因此直線AB過定點，得證。

(2)設(shè)AB的中點為G，由題得G點坐標(biāo)為，則，又.由題意知，即即.代入得整理得.

因，故.所以或.

由第一問中，為這里的為D點坐標(biāo),然而,故

，所以，又因為.所以。即D坐標(biāo)為.

那么,.

設(shè)為與的夾角，那么有

代入進(jìn)行化簡有

若，則.

若，則,

代入有.

所以四邊形ADBE的面積為3或.

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（1）結(jié)合圖，寫出集合；

（2）根據(jù)以上信息，求出一臺凈水器在使用期內(nèi)更換二級濾芯的費(fèi)用大于元的概率（以臺凈水器更換二級濾芯的頻率代替臺凈水器更換二級濾芯發(fā)生的概率）；

（3）若在購買凈水器的同時購買濾芯，則濾芯可享受折優(yōu)惠（使用過程中如需再購買無優(yōu)惠）.假設(shè)上述臺凈水器在購機(jī)的同時，每臺均購買個一級濾芯、個二級濾芯作為備用濾芯（其中，），計算這臺凈水器在使用期內(nèi)購買濾芯所需總費(fèi)用的平均數(shù).并以此作為決策依據(jù)，如果客戶購買凈水器的同時購買備用濾芯的總數(shù)也為個，則其中一級濾芯和二級濾芯的個數(shù)應(yīng)分別是多少？

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