【題目】已知動圓過定點,且與定直線相切,點在上.
(1)求動圓圓心的軌跡的方程;
(2)試過點且斜率為的直線與曲線相交于兩點。問:能否為正三角形?
(3)過點作兩條斜率存在且互相垂直的直線,設與軌跡相交于,與軌跡相交于點,求的最小值.
【答案】(1) (2)不能,理由見解析 (3)
【解析】
(1)根據(jù)題意可知動圓的圓心軌跡為拋物線,即可求得軌跡方程.
(2)寫出直線方程,聯(lián)立后可求得兩點的坐標.設出點坐標,根據(jù)正三角形三條邊相等,結合兩點間距離公式,可利用兩個方程分別解的縱坐標,如果兩個方程的解相等就存在這樣的正三角形,如果兩個方程的解不相等就不存在.
(3)根據(jù)斜率存在,設出兩條直線方程,聯(lián)立拋物線后根據(jù)韋達定理可得交點橫坐標的關系.將根據(jù)向量的加法運算化簡,即可得,根據(jù)拋物線定義可轉化為四個交點橫坐標的表達式,將韋達定理表示的式子代入,即可得關于斜率的等式,再根據(jù)基本不等式即可求得最小值.
(1)因為動圓過定點,且與定直線相切
所以動圓圓心到定點與到定直線的距離相等
由拋物線定義可知,動圓圓心的軌跡是拋物線
該拋物線以為焦點,以為準線
所以動圓圓心的軌跡的方程為
(2)不能為正三角形.理由如下:
過點且斜率為的直線方程為
則整理化簡可得
直線與曲線相交于兩點.解方程組可得兩點的坐標為
因為在上,所以設,且能為正三角形
則,即滿足
當時,由兩點間距離公式得
解方程可得
當時,由兩點間距離公式得
解方程可得
因為兩個方程的解不相同,所以不存在這樣的C點,使為正三角形
即不能為正三角形.
(3)因為過點作的兩條斜率存在的直線
設直線的斜率為,則的方程為,與軌跡相交于,設
由整理化簡可得
則
因為直線互相垂直,則直線的斜率為,其方程可設為,與軌跡相交于點,設
由整理化簡可得
則
所以
因為直線互相垂直
則
則
由拋物線定義可知
所以
由基本不等式可知
當且僅當,即時取等號.即的最小值為
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某大學生參加社會實踐活動,對某公司1月份至6月份銷售某種配件的銷售量及銷售單價進行了調查,銷售單價x和銷售量y之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
銷售單價(元) | 9 | 9.5 | 10 | 10.5 | 11 | 8 |
銷售量(件) | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 | 14.2 |
(1)根據(jù)1至5月份的數(shù)據(jù),求出y關于x的回歸直線方程;
(2)若由回歸直線方程得到的估計數(shù)據(jù)與剩下的檢驗數(shù)據(jù)的誤差不超過0.5元,則認為所得到的回歸直線方程是理想的,試問(1)中所得到的回歸直線方程是否理想?
(3)預計在今后的銷售中,銷售量與銷售單價仍然服從(1)中的關系,若該種機器配件的成本是2.5元/件,那么該配件的銷售單價應定為多少元才能獲得最大利潤?(注:利潤=銷售收入-成本).
參考公式:回歸直線方程,其中,
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】平面上有個點,將每一個點染上紅色或藍色.從這個點中,任取個點,記個點顏色相同的所有不同取法總數(shù)為.
(1)若,求的最小值;
(2)若,求證:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務質量,收集并整理了年月至年月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖,下列結論正確的是( )
A. 月接待游客逐月增加
B. 年接待游客量逐年減少
C. 各年的月接待游客量高峰期大致在月
D. 各年月至月的月接待游客量相對于月至月,波動性較小,變化比較穩(wěn)定
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知與的夾角為,,,設,.
(1)當時,求與的夾角大;
(2)是否存在實數(shù),使得與的夾角為鈍角,若存在求出的取值范圍,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知是定義在上且以4為周期的奇函數(shù),當時,(為自然對數(shù)的底),則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點之和為( )
A. 6B. 8C. 12D. 14
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,圓經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸,并在兩種坐標系中取相同的單位長度,建立極坐標系,直線的極坐標方程為.
(1)求曲線的直角坐標方程及直線的直角坐標方程;
(2)設點是上一動點,求點到直線的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】數(shù)列中,,當時,的前項和滿足
(1)求的表達式;
(2)設,數(shù)列的前項和為,求;
(3)是否存在正整數(shù),使得成等比數(shù)列?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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