Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若直線(xiàn)與曲線(xiàn)恒相切于同一定點(diǎn)，求的方程；

（2）當(dāng)時(shí)， ，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由題意得，直線(xiàn)與曲線(xiàn)恒相切于同一定點(diǎn)，由，得曲線(xiàn)恒過(guò)的定點(diǎn)為，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線(xiàn)的方程；（2）構(gòu)造函數(shù)，二次求導(dǎo)，再分別對(duì)進(jìn)行討論： ， ， ，綜合取交集即可.

試題解析：（1）因?yàn)橹本�(xiàn)與曲線(xiàn)恒相切于同一定點(diǎn)，

所以曲線(xiàn)必恒過(guò)定點(diǎn)，

由，令，得，

故得曲線(xiàn)恒過(guò)的定點(diǎn)為.

因?yàn)?/span>，所以切線(xiàn)的斜率，

故切線(xiàn)的方程為，即.

（2）令，

.

令，

.

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，

所以在上單調(diào)遞增，故，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ，

所以在上單調(diào)遞增，故.

從而，當(dāng)時(shí)， 恒成立.

②當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以，

故與①同理，可得當(dāng)時(shí)， 恒成立.

③當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)， 在內(nèi)取得最小值.

取，

因?yàn)?/span>，

所以，

前述說(shuō)明在內(nèi)，存在唯一的，使得，且當(dāng)時(shí)， ，

即在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)， ，

所以在上單調(diào)遞減，

此時(shí)存在，使得，不符合題設(shè)要求.

綜上①②③所述，得的取值范圍是.

說(shuō)明：③也可以按以下方式解答：

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)， 在內(nèi)取得最小值，

當(dāng)時(shí)， ，所以，

故存在，使得，且當(dāng)時(shí)， ，

下同前述③的解答.