【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對任意x,y∈R恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)不恒為0,
(1)求f(1)和f(﹣1)的值;
(2)試判斷f(x)的奇偶性,并加以證明;
(3)若x≥0時(shí)f(x)為增函數(shù),求滿足不等式f(x+1)﹣f(2﹣x)≤0的x取值集合.
【答案】
(1)解:令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1)=2f(1),
∴f(1)=0,
令x=y=﹣1,得f(1)=f(﹣1)+f(﹣1)=2f(﹣1)=0,
∴f(﹣1)=0
(2)解:令y=﹣1,則f(﹣x)=f(x)+f(﹣1)=f(x),
∴f(﹣x)=f(x)
∴f(x)是偶函數(shù)
(3)解:由式f(x+1)﹣f(2﹣x)≤0得式f(x+1)≤f(2﹣x),
由(2)函數(shù)是偶函數(shù),
則不等式等價(jià)為f(|x+1|)≤f(|2﹣x|),
∵x≥0時(shí)f(x)為增函數(shù),
∴不等式等價(jià)為|x+1|≤|2﹣x|,
平方得x2+2x+1≤x2﹣4x+4,
即6x≤3,即x≤ ,
即滿足不等式f(x+1)﹣f(2﹣x)≤0的x取值集合為(﹣∞, ]
【解析】(1)利用賦值法即可求f(1)、f(﹣1)的值;(2)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可證明f(x)是偶函數(shù);(3)根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是某校舉行歌唱比賽時(shí),七位評委為某位選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)依次為( )
A.87,86
B.83,85
C.88,85
D.82,86
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【題目】對于函數(shù)f(x)定義域中任意的x1 , x2(x1≠x2),有如下結(jié)論:
(1)f(x1+x2)=f(x1)f(x2)
(2)f(x1x2)=f(x1)+f(x2)
(3)
當(dāng)f(x)=ex時(shí),上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋ī?,1),則函數(shù)f(2x+1)的定義域?yàn)?/span>
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面幾何中有如下結(jié)論:正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1 , 外接圓面積為S2 , 則 ,推廣到空間可以得到類似結(jié)論;已知正四面體P﹣ABC的內(nèi)切球體積為V1 , 外接球體積為V2 , 則 = .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)x∈R,定義符號(hào)函數(shù)sgnx= ,則( )
A.|x|=x|sgnx|
B.|x|=xsgn|x|
C.|x|=|x|sgnx
D.|x|=xsgnx
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P是圓x2+y2=4上一動(dòng)點(diǎn),PD⊥x軸于點(diǎn)D,記滿足 = ( + )的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為Γ. (Ⅰ)求軌跡Γ的方程;
(Ⅱ)已知直線l:y=kx+m與軌跡F交于不同兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)G是線段AB中點(diǎn),射線OG交軌跡Γ于點(diǎn)Q,且 =λ ,λ∈R.
①證明:λ2m2=4k2+1;
②求△AOB的面積S(λ)的解析式,并計(jì)算S(λ)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知acosB+bcosA=2ccosC.
(1)求角C的大小;
(2)若a=5,b=8,求邊c的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若直線與曲線恒相切于同一定點(diǎn),求的方程;
(2)當(dāng)時(shí), ,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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