Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，構(gòu)造數(shù)列a_n=f（n）（n∈N₊），寫(xiě)出數(shù)列{a_n}的前5項(xiàng)，并判斷該數(shù)列的單調(diào)性．

Answer 1

分析 由題意可得：a_n=$\frac{n}{{n}^{2}+1}$，分別令n=1，2，3，4，5即可得出．由以上可猜想數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減．再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$（x≥1）的單調(diào)性即可得出．

解答 解：由題意可得：a_n=$\frac{n}{{n}^{2}+1}$，
∴a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{2}{5}$，a₃=$\frac{3}{10}$，a₄=$\frac{4}{17}$，a₅=$\frac{5}{26}$．
由以上可猜想數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減．
下面給出證明：f′（x）=$\frac{{x}^{2}+1-x×2x}{（{x}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{-（x+1）（x-1）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）≤0，因此函數(shù)f（x）在x≥1時(shí)單調(diào)遞增．
∴數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)列的單調(diào)性、通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．