Question

【題目】已知直線 是橢圓 的右準線，若橢圓的離心率為 ，右準線方程為x=2．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）已知一直線AB過右焦點F（c，0），交橢圓Γ于A，B兩點，P為橢圓Γ的左頂點，PA，PB與右準線交于點M（xM ， yM），N（xN ， yN），問yMyN是否為定值，若是，求出該定值，否則說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意：橢圓的離心率e= = ， =2，則a= ，b=1，c=1，

故橢圓Γ方程為

（2）解：設AB的方程：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

則 ，整理得：（m2+2）y2+2my﹣1=0，

△=（﹣2m）2+4（m2+2）＞0，

由韋達定理得：y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

直線PA：y= （x+ ），

令x=2，得yM= （2+ ），

同理：yN= （2+ ），

∴yMyN= = ，

= ，

= ，

= ，

= = =﹣1，

yMyN=﹣1，

yMyN是否為定值，定值為﹣1

【解析】（1）由題意可知：e= = ， =2，即可求得a和b的值，求得橢圓Γ的方程；（2）設AB的方程：x=my+1，代入橢圓方程由韋達定理求得直線PA的方程，代入即可求得yM= （2+ ），yN= （2+ ），yMyN= = ，代入即可求得yMyN=﹣1．