Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lg（ax2+ax+2）（a∈R）．
（1）若a=﹣1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當a=﹣1時，f（x）=lg（﹣x2﹣x+2），

由﹣x2﹣x+2＞0，即x2+x﹣2＜0，解得：﹣2＜x＜1，

所以函數(shù)f（x）的定義域為（﹣2，1）；

設(shè)t（x）=﹣x2﹣x+2，x∈（﹣2，1），

則y=lgt在t∈（0，+∞）為增函數(shù)．

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，

f（x）的單調(diào)區(qū)間與t（x）=﹣x2﹣x+2，x∈（﹣2，1）的單調(diào)區(qū)間一致．

二次函數(shù)t（x）=﹣x2﹣x+2，x∈（﹣2，1）的對稱軸為

所以t（x）在 單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減．

所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為 ，單調(diào)減區(qū)間為

（2）

解：當a=0時，f（x）=lg2為常數(shù)函數(shù)，定義域為R，滿足條件．

當a≠0時，f（x）的定義域為R等價于ax2+ax+2＞0恒成立．

于是有 ，解得：0＜a＜8

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是0≤a＜8

【解析】（1）將a=﹣1代入f（x），求出f（x）的定義域，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，求出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2））f（x）的定義域為R等價于ax2+ax+2＞0恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．
【考點精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減才能得出正確答案．