Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右兩焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，p是橢圓上一點(diǎn)，且在x軸上方，PF₂⊥F₁F₂，PF₂=λPF₁，λ∈[

1

3

，

1

2

]．
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）當(dāng)e取最大值時(shí)，過(guò)F₁，F(xiàn)₂，P的圓Q的截y軸的線(xiàn)段長(zhǎng)為6，求橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下，過(guò)橢圓右準(zhǔn)線(xiàn)l上任一點(diǎn)A引圓Q的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為M，N．試探究直線(xiàn)MN是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）利用λ=

|PF2|

|PF1|

=

b2 a

2a- b2 a

，和e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

，可得e=

1-λ 1+λ

，利用其在λ∈[

1

3

，

1

2

]上單調(diào)性質(zhì)即可得出．
（2）當(dāng)e=

2

2

時(shí)，

c

a

=

2

2

，由于PF₂⊥F₁F₂，可得PF₁是圓的直徑，圓心是PF₁的中點(diǎn)，因此在y軸上截得的弦長(zhǎng)就是直徑，進(jìn)而得出a，b，c．
（3）由（2）得到|PF2|=

b2

a

，進(jìn)而得到圓Q的方程是x²+（y-1）²=9．橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=4

2

，由于直線(xiàn)AM，AN是圓Q的兩條切線(xiàn)，可得切點(diǎn)M，N在以AQ為直徑的圓上．利用兩圓的方程即可得出公共弦方程即可得出．

解答： 解：（1）λ=

|PF2|

|PF1|

=

b2 a

2a- b2 a

，化為2a²λ-b²λ=b²，整理為

b2

a2

=

2λ

1+λ

．
∴e2=

c2

a2

=1-

b2

a2

=1-

2λ

1+λ

=

1-λ

1+λ

，
∴e=

1-λ 1+λ

，在λ∈[

1

3

，

1

2

]上單調(diào)遞減．
∴λ=

1

2

時(shí)，e²最小

1

3

，λ=

1

3

時(shí)，e²最大

1

2

，∴

1

3

≤e2≤

1

2

，
∴

3

3

≤e≤

2

2

．
（2）當(dāng)e=

2

2

時(shí)，

c

a

=

2

2

，∴c=b=

2

2

a，
∴2b²=a²．
∵PF₂⊥F₁F₂，∴PF₁是圓的直徑，圓心是PF₁的中點(diǎn)，∴在y軸上截得的弦長(zhǎng)就是直徑，
∴PF₁=6．
又|PF₁|=2a-

b2

a

=2a-

a2

2a

=

3

2

a=6，
∴a=4，c=b=2

2

．
∴橢圓方程是

x2

16

+

y2

8

=1．
（3）由（2）得到|PF2|=

b2

a

=

a

2

=2，于是圓心Q（0，1），半徑為3，圓Q的方程是x²+（y-1）²=9．橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=4

2

，
∵直線(xiàn)AM，AN是圓Q的兩條切線(xiàn)，∴切點(diǎn)M，N在以AQ為直徑的圓上．
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(4

2

，t)，∴該圓方程為x(x-4

2

)+(y-1)(y-t)=0．
∴直線(xiàn)MN是兩圓的公共弦，兩圓方程相減得：4

2

x+(t-1)y-8-t=0，這就是直線(xiàn)MN的方程．
該直線(xiàn)化為：(y-1)t+4

2

x-y-8=0，
∴

y-1=0 4 2 x-y-8=0

，解得

x= 9 2 8 y=1

∴直線(xiàn)MN必過(guò)定點(diǎn)(

9 2

8

，1)．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與圓相切的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．