Question

設(shè)集合A，B是非空集合M的兩個不同子集，滿足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．
（1）若M={a₁，a₂，a₃，a₄}，直接寫出所有不同的有序集合對（A，B）的個數(shù)；
（2）若M={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，求所有不同的有序集合對（A，B）的個數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用,子集與真子集

專題：集合

分析：（1）根據(jù)定義，利用列舉法即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)有序集合對的定義，利用數(shù)列的有關(guān)知識建立方程即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）若集合A含有1個元素，則A有

C

1 4

=4，不妨設(shè)A={1}，則B={2}，{3}，{4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{2，3，4}，此時B有7個，此時共有4×7=28個．
若集合A含有2個元素，則A有

C

2 4

=6種，不妨設(shè)A={1，2}，則B={3}，{4}，{3，4}，{1，4}，{1，3}，{1，3，4}，{2，3}，{2，4}，{2，3，4}，此時B有9個，此時共有6×9=54個．
若集合A含有3個元素，則A有

C

3 4

=4，不妨設(shè)A={1，2，3}，則B={4}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，此時B有7個，此時共有4×7=28個．
綜上共有28+28+54=110種結(jié)果．
（2）集合M有2ⁿ個子集，不同的有序集合對（A，B）有2ⁿ（2ⁿ-1）個．
若A?B，并設(shè)B中含有k（1≤k≤n，k∈N^•）個元素，則滿足A?B的有序
集合對 （A，B） 有

n

k=1

C

k n

(2k-1)=

n

k=0

C

k n

•2k-

n

k=0

C

k n

=3ⁿ-2ⁿ個．  
同理，滿足B?A的有序集合對（A，B）有3ⁿ-2ⁿ個．      
故滿足條件的有序集合對（A，B）的個數(shù)為2ⁿ（2ⁿ-1）-2（3ⁿ-2ⁿ）=4ⁿ+2ⁿ-2×3ⁿ．

點(diǎn)評：本題主要與集合有關(guān)是信息題，根據(jù)有序集合對的定義建立條件關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．