Question

判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1）f（x）=

1-x2

|x+2|-2

；
（2）f（x）=(

1

2x-1

+

1

2

)•x；
（3）f（x）=lg（

x2+1

-x）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求函數(shù)的定義域，再對解析式化簡，判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，結(jié)合奇偶性的定義，可得答案；
（2）先求函數(shù)的定義域，將解析式化簡，判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，結(jié)合奇偶性的定義，可得答案；
（3）先求函數(shù)的定義域，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，結(jié)合奇偶性的定義，可得答案；

解答： 解：（1）由

1-x2≥0 |x+2|-2≠0

得，-1≤x≤1且x≠0，
∴函數(shù)的定義域是{x|-1≤x≤1且x≠0}，
則f(x)=

1-x2

|x+2|-2

=

1-x2

x

，
則f（-x）=

1-x2

-x

=-

1-x2

x

=-f（x），
∴函數(shù)f(x)=

1-x2

|x+2|-2

是奇函數(shù)；
（2）由2^x-1≠0得，x≠0，則函數(shù)的定義域是{x|x≠0}，
∵f(x)=(

1

2x-1

+

1

2

)•x=

2+2x-1

2(2x-1)

•x=

2x+1

2(2x-1)

•x，
∴f（-x）=

2-x+1

2(2-x-1)

•(-x)=

2x+1

2(1-2x)

•(-x)=

2x+1

2(2x-1)

•x=f（x），
∴函數(shù)f(x)=(

1

2x-1

+

1

2

)•x是偶函數(shù)，
（3）由

x2+1

-x＞得，函數(shù)的定義域是R，
又∵f（-x）=lg（

x2+1

+x）=lg

1

x2+1 -x

=-f（x），
∴函數(shù)f（x）=lg（

x2+1

-x）是奇函數(shù)．

點評：本題主要考查了復(fù)雜函數(shù)奇偶性的判斷，首先要求定義域，確定定義域是否關(guān)于原點對稱，再對解析式化簡后，通過f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x）判斷出函數(shù)的奇偶性．