Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁∈（0，1），a_n=

3-an-1

2

，n=2，3，4，…
（Ⅰ）若a₁=

1

2

，求{a_n}的第2項(xiàng)a₂，第三項(xiàng)a₃，第4項(xiàng)a₄；
（Ⅱ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)b_n=a_n

3-2an

，證明b_n＜b_n+1，其中n為正整數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）直接由首項(xiàng)和數(shù)列遞推式求得a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）把給出的數(shù)列遞推式變形，構(gòu)造等比數(shù)列{a_n-1}，求其通項(xiàng)公式后得到{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）直接由b_n+1-b_n得到含有a_n的代數(shù)式，利用基本不等式放縮后證得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由a₁=

1

2

，a_n=

3-an-1

2

，得
a2=

3-a1

2

=

3- 1 2

2

=

5

4

，
a3=

3-a2

2

=

3- 5 4

2

=

7

8

，
a4=

3-a3

2

=

3- 7 8

2

=

17

16

；
（Ⅱ）由a_n=

3-an-1

2

=-

1

2

an-1+

3

2

，得
an-1=-

1

2

(an-1-1)，
又a₁∈（0，1），a₁-1≠0，
∴{a_n-1}是首項(xiàng)為a₁-1，公比為-

1

2

的等比數(shù)列，
∴an-1=(a1-1)•(-

1

2

)n-1，
∴an=1+(a1-1)•(-

1

2

)n-1；
（Ⅲ）∵(-

1

2

)n-1∈[-

1

2

，1]，
又a₁∈（0，1），
∴(1-a1)(-

1

2

)n-1∈(-

1

2

，1)．
an=1+(1-a1)(-

1

2

)n-1∈(0，

3

2

)，且a_n≠1，
故b_n＞0．
∴bn+1-bn=an+1

3-2an+1

-an

3-2an

=

3-an

2

an

-an

3-2an

=

an

(

3-an

2

-

an(3-2an)

)
＞

an

(

3-an

2

-

an+3-2an

2

)=0．
∴b_n＜b_n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．