Question

已知兩定點(diǎn)A（-1，0）和B（1，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）在直線l：y=x+2上移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：作出直線y=x+2，過A作直線y=x+2的對(duì)稱點(diǎn)C，2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|，即可得到a的最大值，由于c=1，由離心率公式即可得到．

解答： 解：由題意知c=1，離心率e=

c

a

，
橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，
則c=1，
∵P在直線l：y=x+2上移動(dòng)，
∴2a=|PA|+|PB|．
過A作直線y=x+2的對(duì)稱點(diǎn)C，
設(shè)C（m，n），則由

n m+1 =-1 1 2 n= 1 2 (m-1)+2

，
解得

m=-2 n=1

，即有C（-2，1），
則此時(shí)2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=

10

，
此時(shí)a有最小值

10

2

，
對(duì)應(yīng)的離心率e有最大值

10

5

．
故答案為：

10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的定義和橢圓的離心率的求法，掌握直線的對(duì)稱問題是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．