Question

已知數(shù)列{a_n}（n∈N^*，1≤n≤46）滿足a₁=a，a_n+1-a_n=

d，1≤n≤15 1，16≤n≤30 1 d ，31≤n≤45

其中d≠0，n∈N^*．
（1）當a=1時，求a₄₆關(guān)于d的表達式，并求a₄₆的取值范圍；
（2）設(shè)集合M={b|b=a_i+a_j+a_k，i，j，k∈N^*，1≤i＜j＜k≤16}．
①若a=

1

3

，d=

1

4

，求證：2∈M；
②是否存在實數(shù)a，d，使

1

8

，1，

53

40

都屬于M？若存在，請求出實數(shù)a，d；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）直接計算即可；
（2）①求出a_n的公式即可；②假設(shè)存在實數(shù)a，d滿足條件，得出矛盾，從而否定假設(shè)．

解答： 解：（1）當a=1時，a₁₆=1+15d，a₃₁=16+15d，a46=16+15(d+

1

d

)．      
因為d≠0，d+

1

d

≥2，或d+

1

d

≤-2，
所以a₄₆∈（-∞，-14]∪[46，+∞）．                       
（2）①由題意an=

1

3

+

n-1

4

，1≤n≤16，b=1+

i+j+k-3

4

．     
令1+

i+j+k-3

4

=2，得i+j+k=7．
因為i，j，k∈N^*，1≤i＜j＜k≤16，
所以令i=1，j=2，k=4，則2∈M．                    
②不存在實數(shù)a，d，使

1

8

，1，

53

40

同時屬于M．      
假設(shè)存在實數(shù)a，d，使

1

8

，1，

53

40

同時屬于M．
∵a_n=a+（n-1）d，∴b=3a+（i+j+k-3）d，
從而M={b|b=3a+md，3≤m≤42，m∈Z}．          
因為

1

8

，1，

53

40

同時屬于M，
所以存在三個不同的整數(shù)x，y，z（x，y，z∈[3，42]），
使得

3a+xd= 1 8 3a+yd=1 3a+zd= 53 40

從而

(y-x)d= 7 8 (z-x)d= 6 5

則 

y-x

z-x

=

35

48

．                                  
因為35與48互質(zhì)，且y-x與z-x為整數(shù)，
所以|y-x|≥35，|z-x|≥48，但|z-x|≤39，矛盾．
所以不存在實數(shù)a，d，使

1

8

，1，

53

40

都屬于M．

點評：本題主要考查數(shù)列知識以及反證法，需要清晰的思路，屬于難題．