Question

5．已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A（0，2），且在x軸上截得的弦長(zhǎng)MN=4
（Ⅰ）求動(dòng)圓的圓心C的軌跡方程L．
（Ⅱ）若A，B為L(zhǎng)上的兩動(dòng)點(diǎn)，線段AB過(guò)點(diǎn)F（0，1），且$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$（λ＞0）．過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作曲線L的切線，設(shè)其交點(diǎn)為P．設(shè)△ABP的面積為S，求S的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)圓心為C（x，y），線段MN的中點(diǎn)為E，依題意得|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，由此能求出動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程．
（Ⅱ）求出PA，PB的方程，聯(lián)立可解得點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出△ABP的面積S，即可求S的最小值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓心C（x，y），線段MN的中點(diǎn)為T(mén)．則MT=2
依題意得|CA|²=|CM|²=|MT|²+|TC|²，
即x²+（y-2）²=4+y²，即x²=4y…（5分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．AB的直線方程：y=kx+1，代入x²=4y得到：x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4…（6分）
∵${y_1}=\frac{1}{4}{x_1}^2$，${y_2}=\frac{1}{4}{x_2}^2$，${k_{PA}}=\frac{1}{2}{x_1}$，${k_{PB}}=\frac{1}{2}{x_2}$．
∴PA，PB的方程：${l_{PA}}：y=\frac{1}{2}{x_1}x-\frac{1}{4}{x_1}^2$，${l_{PB}}：y=\frac{1}{2}{x_2}x-\frac{1}{4}{x_2}^2$，
聯(lián)立可解得點(diǎn)P的坐標(biāo)${x_P}=\frac{1}{2}（{x_1}+{x_2}）=2k$.${y_P}=\frac{1}{4}{x_1}{x_2}=-1$．…（8分）
又∵$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=4（{k^2}+1）$，
$d=\frac{{|{k•2k+1+1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2\sqrt{{k^2}+1}$…（10分）
∴$S=\frac{1}{2}|{AB}|•d=4{（{k^2}+1）^{\frac{3}{2}}}≥4$，
∴S_min=4…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)圓圓心的軌跡方程的求法，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．