Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，側(cè)面底面，,,分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若為的中點(diǎn)，求證：平面；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求四棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析；（Ⅲ）24．

【解析】

試題（1）證明線面垂直，一般利用線面垂直判定定理，即從線線垂直出發(fā)給予證明，而線線垂直的證明與尋找，往往從兩個(gè)方面，一是利用面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直底面，再由線面垂直性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為線線垂直，另一是結(jié)合平幾條件，如本題利用等腰三角形及平行四邊形性質(zhì)得（2）證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發(fā)給予證明，而線線平行的尋找與論證，往往需結(jié)合平幾條件，如三角形中位線性質(zhì)得，即得平面.同理，得平面，最后根據(jù)線面平行證得面面平行平面平面，再由面面平行得線面平行（3）求四棱錐體積，關(guān)鍵在于確定高，即線面垂直.由底面，所以底面，所以

試題解析：（1）證明：在平行四邊形中，因?yàn)?/span>，，

所以.

由分別為的中點(diǎn)，得，

所以.

因?yàn)閭?cè)面底面，且，

所以底面.

又因?yàn)?/span>底面，所以.

又因?yàn)?/span>，平面，平面，

所以平面.

（2）證明：因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，

所以，

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

同理，得平面，又因?yàn)?/span>，

平面，

平面，

所以平面平面，

又因?yàn)?/span>平面，

所以平面.

（3）在中，過(guò)作交于點(diǎn)，

由，得，

又因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>底面，所以底面，

所以四棱錐的體積

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