Question

10．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，若該雙曲線右支上存在兩點(diǎn)B，C使得△ABC為等腰直角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． （1，3）
• B． （$1，\sqrt{3}$）
• C． （1，2）
• D． （$1，\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 設(shè)其中一條漸近線與x軸的夾角為θ，由已知條件得tanθ＜1，漸近線的方程為$y=\frac{a}x$，從而$\frac{a}＜1$，由此能求出該雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答 解：如圖，因?yàn)椤鰽BC為等腰直角三角形，所以∠BAx=45°，
設(shè)其中一條漸近線與x軸的夾角為θ，則θ＜45°，即tanθ＜1，
又上述漸近線的方程為$y=\frac{a}x$，
所以$\frac{a}＜1$，又${e^2}=1+\frac{b^2}{a^2}＜2$，
所以$1＜e＜\sqrt{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意雙曲線的性質(zhì)的合理運(yùn)用．