Question

1．設(shè)m∈R，過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交與點P（x，y），則PA+PB的最大值是2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 動直線x+my=0過定點A（0，0），動直線mx-y-m+3=0即m（x-1）+3-m=0過定點B（1，3）．無論m=0，m≠0，都有此兩條直線垂直．因此點P在以AB為直徑的圓上，利用$\sqrt{2（|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|PB{|}^{2}）}$≥|PA|+|PB|≥|AB|，即可得出

解答 解：動直線x+my=0過定點A（0，0），
動直線mx-y-m+3=0即m（x-1）+3-m=0過定點B（1，3）．
無論m=0，m≠0，都有此兩條直線垂直．
∴點P在以AB為直徑的圓上，
|AB|=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，|PA|²+|PB|²=10．
∴$\sqrt{2（|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|PB{|}^{2}）}$≥|PA|+|PB|≥|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|=$\sqrt{5}$時取等號．
∴2$\sqrt{5}$≥|PA|+|PB|≥$\sqrt{10}$．
∴|PA|+|PB|的最大值為2$\sqrt{5}$
故答案為：2$\sqrt{5}$

點評 本題考查了“直線系”的應(yīng)用、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、圓的性質(zhì)、勾股定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．