Question

5．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₂=$\frac{1}{4}$，且S₁，S₂，S₃+$\frac{1}{8}$成等差數(shù)列；公差不為0的等差數(shù)列{b_n}的前n項和T_n滿足$\frac{{T}_{n}}{n}$=c•b_n+1（其中c為常數(shù)），且b₂=24．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通頂公式；
（2）記數(shù)列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n項和為Q，比較Q與$\frac{{S}_{n}}{2}$的大小關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）利用S₁，S₂，S₃+$\frac{1}{8}$成等差數(shù)列，可得2S₂=S₁+S₃+$\frac{1}{8}$，又a₂=$\frac{1}{4}$，從而可得a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$；利用$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{1}=c•_{2}}\\{{T}_{2}=2c•_{3}}\end{array}\right.$，及b₂=24，可推出b_n=12+12（n-1）=12n；
（2）由（1）知S_n=$1-（\frac{1}{2}）^{n}$＞$\frac{1}{2}$推出$\frac{{S}_{n}}{2}$＞$\frac{1}{4}$，通過裂項可知$\frac{1}{{T}_{n}}=\frac{1}{6}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，從而并項相加可知Q$＜\frac{1}{6}$，得到$\frac{{S}_{n}}{2}$＞Q．

解答 解：（1）已知數(shù)列{a_n}的公比為q，因為S₁，S₂，S₃+$\frac{1}{8}$成等差數(shù)列，
所以2S₂=S₁+S₃+$\frac{1}{8}$，即${a}_{2}={a}_{3}+\frac{1}{8}$，
又a₂=$\frac{1}{4}$，所以${a}_{3}={a}_{2}-\frac{1}{8}=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$，
所以q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$，從而a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$，
所以${a}_{n}=\frac{1}{2}•（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$；
∵$\frac{{T}_{n}}{n}$=c•b_n+1（其中c為常數(shù)），∴$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{1}=c•_{2}}\\{{T}_{2}=2c•_{3}}\end{array}\right.$，
又數(shù)列{b_n}的公差d不為零，
所以$\left\{\begin{array}{l}{_{2}-d=c•_{2}}\\{2_{2}-d=2c•（_{2}+d）}\end{array}\right.$，
又∵b₂=24，∴$\left\{\begin{array}{l}{24-d=24c}\\{2×24-d=2c（24+d）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{c=\frac{1}{2}}\\{d=12}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{d=0}\end{array}\right.$（舍），
從而b₁=b₂-d=24-12=12，
所以b_n=12+12（n-1）=12n；
（2）由（1）知S_n=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=$1-（\frac{1}{2}）^{n}$＞$\frac{1}{2}$，所以$\frac{{S}_{n}}{2}$＞$\frac{1}{4}$，
∵${T}_{n}=12n+\frac{n（n-1）}{2}×12$=6n（n+1），
∴$\frac{1}{{T}_{n}}=\frac{1}{6}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
從而Q=$\frac{1}{{T}_{1}}+\frac{1}{{T}_{2}}+…+\frac{1}{{T}_{n}}$
=$\frac{1}{6}$[（$1-\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）]
=$\frac{1}{6}（1-\frac{1}{n+1}）$$＜\frac{1}{6}$，
所以$\frac{{S}_{n}}{2}$＞Q．

點評 本題考查等差、等比數(shù)列，挖掘隱含條件、遞推數(shù)列是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．