Question

一個(gè)菱形邊長(zhǎng)與其內(nèi)切圓的直徑之比為k：1（k＞1），則這個(gè)菱形的一個(gè)小于

π

2

的內(nèi)角等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線的性質(zhì)定理的證明

專(zhuān)題：直線與圓

分析：先做出圖象，然后作輔助線將所求內(nèi)角，內(nèi)切圓直徑轉(zhuǎn)化到同一直角三角形中，求解即可．

解答： 解；由題意作菱形ABCD及其內(nèi)切圓，則∠BAD為所求小于

π

2

的內(nèi)角，設(shè)為θ，（0＜θ＜

π

2

），
又由題意知菱形邊長(zhǎng)與其內(nèi)切圓的直徑之比為k：1（k＞1），不妨設(shè)菱形邊長(zhǎng)為k，內(nèi)切圓直徑為1，
過(guò)A作AE⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則AE長(zhǎng)等于平行線AD與BC的距離，而在菱形ABCD中，內(nèi)切圓直徑長(zhǎng)也等于平行線AD與BC的距離，則AE長(zhǎng)等于內(nèi)切圓直徑長(zhǎng)，AE=1，
∵∠ABE為△ABC一外角，∴∠ABE=∠BAC+∠BCA=∠BAD=θ，
在Rt△AEB中，AE=1，AB=k，
sinθ=

1

k

，
cosθ=

1-( 1 k )2

=

k2-1 k2

，
tanθ=

1 k2-1

，
θ=arctan

1 k2-1

．

點(diǎn)評(píng)：做出圖形，利用數(shù)形結(jié)合將條件直觀顯示出來(lái)，有助于我們解題．