Question

【題目】設函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x﹣1），已知當x∈[0，1]時，f（x）=2x﹣1 ， 有以下結論：
①2是函數f（x）的一個周期；
②函數f（x）在（1，2）上單調遞減，在（2，3）上單調遞增；
③函數f（x）的最大值為1，最小值為0；
④當x∈（3，4）時，f（x）=23﹣x ．
其中，正確結論的序號是 ． （請寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①∵對任意的x∈R恒有f（x+1）=﹣f（x），
∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），即2是f（x）的周期，①正確
②∵函數f（x）是定義在R上的偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）=（ ）1﹣x，
∴函數f（x）在（0，1）上是增函數，函數f（x）在（1，2）上是減函數，在（2，3）上是增函數，故②正確；
函數f（x）的最大值是f（1）=1，最小值為f（0）= ，故③不正確；
設x∈[3，4]，則4﹣x∈[0，1]，f（4﹣x）=（ ）x﹣3=f（﹣x）=f（x），故④正確．
所以答案是：①②④．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數奇偶性的性質的相關知識，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．