Question

2．已知中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的橢圓；以橢圓的頂點為頂點構(gòu)成的四邊形的面積為4．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若A，B分別是橢圓長軸的左．右端點，動點M（異于A、B）滿足$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，直線MA交橢圓于P，求$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$的最小值并求對應(yīng)的直線AM的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得到ab=1，再根據(jù)離心率求得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得a，b得值，即可得到橢圓得標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）根據(jù)$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0得到M點得軌跡是以AB為直徑得圓周上，分別P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），設(shè)直線MA的方程為y=k（x+2），（k≠0），分別聯(lián)立方程組，根據(jù)直線和圓和直線與橢圓得位置關(guān)系，求出P，M的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運算以及基本不等式求得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$的最小值，繼而求出方程．

解答 解：（1）∵橢圓的頂點為頂點構(gòu)成的四邊形的面積為4．
∴$\frac{1}{2}$×2a×2b=4，
∴ab=2，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
∴a=2，b=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）∵$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，
∴M點得軌跡是以AB為直徑得圓周上，
∵AB=4，
∴M點得軌跡方程為：x²+y²=1，
設(shè)P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），設(shè)直線MA的方程為y=k（x+2），（k≠0），
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
∴（1+k²）x²+4k²x+4k²-4=0，
∴-2x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+{k}^{2}}$，
∴x₂=$\frac{2-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
∴y₂=k（x₂+2）=$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$，
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
∴（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
∴-2x₁=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴x₁=-$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
∴y₁=k（x₁+2）=$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$=$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}•\frac{2-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$+$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}•\frac{4k}{1+{k}^{2}}$=$\frac{16{k}^{4}-4{k}^{2}+4}{4{k}^{4}+5{k}^{2}+1}$=$\frac{4（4{k}^{4}+5{k}^{2}+1）-24{k}^{2}}{4{k}^{4}+5{k}^{2}+1}$=4-$\frac{24{k}^{2}}{4{k}^{4}+5{k}^{2}+1}$，
∵k²＞0，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$=4-$\frac{24}{4{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+5}$≥4-$\frac{24}{2\sqrt{4{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}+5}$=$\frac{4}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)k²=$\frac{1}{2}$等號成立，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$的最小值為$\frac{4}{3}$，
∴對應(yīng)的直線AM的方程y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+2）．

點評 本題考查了橢圓定義，直線和圓以及直線和橢圓得位置關(guān)系，以及向量的運算基本不等式得應(yīng)用，涉及得知識點較多，培養(yǎng)了學(xué)生得運算能力，轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．