Question

已知k＞0，函數f（x）=kx²-lnx在其定義域上有兩個零點，則實數k的取值范圍是（　�。�

• A、k＞

  e

  2

• B、0＜k＜

  e

• C、k＞

  2

  2

  e
• D、0＜k＜

  1

  2e

Answer 1

分析：設函數g（x）=kx²與函數u（x）=lnx的圖象相切時，k=k₁，則當0＜k＜k₁時，函數f（x）=kx²-lnx在其定義域上有兩個零點．

解答：解：設g（x）=kx²與函數u（x）=lnx的圖象相切
設（m，n）為兩個函數圖象的公切點
∵g'（x）=2kx，u'（x）=

1

x

則g'（m）=2km=u'（m）=

1

m

則m=

1 2k

此時n=ln

1 2k

即ln

1 2k

=k•

1

2k

=

1

2

解得：k=

1

2e

故函數f（x）=kx²-lnx在其定義域上有兩個零點，則實數k的取值范圍是0＜k＜

1

2e

故選D

點評：函數F（x）=f（x）-g（x）有兩個零點，即函數f（x）的圖象與函數g（x）的圖形有兩個交點，我們關鍵問題是找到兩個函數的圖象相切（即只有一個交點）時參數的值，即確定參數取值范圍的端點．