Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωxcosωx+cos²ωx-

1

2

（ω＞0）的最小正周期是π，將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變；再將所得函數(shù)圖象向右平移

π

6

個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象．
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若g（

π

2

-A）=

4

5

，b=2，ABC的面積為3，求邊長a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,余弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用倍角公式降冪化積，由周期為π求得ω的值，然后利用圖象變換求得g（x）的解析式；
（Ⅱ）把g(

π

2

-A)=

4

5

代入g（x）的解析式，求出cosA的值，進(jìn)一步求出sinA的值，代入三角形的面積公式求出c的值，最后由余弦定理求得a的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

3

sinωxcosωx+cos2ωx-

1

2

（ω＞0）
=

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

-

1

2

=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx
=sin（2ωx+

π

6

）．
∵f（x）的最小正周期為π，且ω＞0，∴

2π

2ω

=π，∴ω=1．
∴f(x)=sin(2x+

π

6

)．
將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，
得到函數(shù)y=sin(x+

π

6

)的圖象，再將所得函數(shù)圖象向右平移

π

6

個(gè)單位，
得到函數(shù)y=sinx的圖象，
故g（x）=sinx；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=sinx，∴g(

π

2

-A)=sin(

π

2

-A)=cosA=

4

5

，
∵0＜A＜π，∴sinA=

1-cos2A

=

1-( 4 5 )2

=

3

5

．
∵△ABC的面積為3，∴

1

2

bcsinA=3，
又∵b=2，∴

1

2

×2•c•

3

5

=3，得c=5．
由a2=b2+c2-2bc•cosA=22+52-2×2×5×

4

5

=13．
得a=

13

．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的倍角公式，考查了y=asinθ+bcosθ型的化積問題，訓(xùn)練了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，是中檔題．