Question

若函數(shù)f（x）=

a-x

+

x

（a為常數(shù)），對(duì)于定義域內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁、x₂，恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜1成立，用S（a）表示滿足條件的所有正整數(shù)a的和，則S（a）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用三角函數(shù)換元法，求出函數(shù)f（x）的最大值和最小值，即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)

x

=

a

cosθ，則

a-x

=

a

sinθ，θ∈[0，

π

2

]，
則f（x）=

a-x

+

x

=

a

sinθ+

a

cosθ=

2a

sin（θ+

π

4

），
∵0≤θ≤

π

2

，
∴

π

4

≤θ+

π

4

≤

3π

4

，
∴f_max（x）=

2a

，f_min（x）=

a

，
要使對(duì)于定義域內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁、x₂，恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，
則

2a

-

a

=（

2

-1）•

a

＜1，
即

a

＜

1

2 -1

，
∴a＜3+2

2

，
∵a為正整數(shù)，
∴a=1，2，3，4，5，
則s（a）=1+2+3+4+5=15，
故答案為：15

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，利用三角換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化，求出函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．