【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).

(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(﹣1)=0,且c=1,求f (2)的值;

(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立,試求b的取值范圍.

【答案】(1)9 ; (2)[﹣2,].

【解析】

(1)根據(jù)函數(shù)f(x)的最小值是f(﹣1)=0,且c=1,求解得a,b,即可求解f (2)的值;

(2)將a=1,c=0代入,|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立,轉化為不等式問題求解即可.

函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).

(1)由題意,可得,a﹣b+1=0,

解得:a=1,b=2;

∴函數(shù)f(x)=x2+2x+1.

那么f(2)=4+4+1=9;

(2)由a=1,c=0,可得f(x)=x2+bx;

∵|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立,

即|x2+bx|≤1

令g(x)=|x2+bx|=|x(x+b)|,顯然圖象過原點,(b,0).

當b<0,g(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增,可得g(x)的圖象,(如圖)

g(x)max=g(1)=|b+1|≤1

∴﹣2≤b<0

當b=0時,可得|x2|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立,

可得:﹣2≤b≤0;

當b>0,顯然g(x)max=

解得:≥b>0

綜上可得b的取值范圍是[﹣2,].

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