Question

17．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足acosB+$\frac{1}{2}$b=c．
（Ⅰ） 求角A；
（Ⅱ） 若b，a，c成等比數(shù)列，求證：△ABC為等邊三角形．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由正弦定理及三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可得cosAsinB=$\frac{1}{2}$sinB，由sinB≠0，解得cosA，結(jié)合A的范圍即可得解．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）及余弦定理，可得a²=b²+c²-bc，由b、a、c成等比數(shù)列得a²=bc，可得b²+c²-bc=bc，從而解得b=c，得證．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ） 由正弦定理，得sinAcosB+$\frac{1}{2}$sinB=sinC．…（2分）
而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，…（4分）
故cosAsinB=$\frac{1}{2}$sinB．在△ABC中，sinB≠0，故cosA=$\frac{1}{2}$…（5分）
因為0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）A=$\frac{π}{3}$，在△ABC中，由余弦定理，得
a²=b²+c²-bc，…（8分）
由b、a、c成等比數(shù)列得a²=bc，所以b²+c²-bc=bc
即（b-c）²=0，從而b=c，…（10分）
故△ABC是等邊三角形．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，等比數(shù)列的性質(zhì)等知識的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．