2.已知橢圓的一個頂點為A(0,-$\sqrt{2}$),焦點在x軸上.若右焦點到直線x-y+2$\sqrt{2}$=0的距離為3
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)P是橢圓上的點,且以點P及兩個焦點為頂點的三角形面積等于1,求點P的坐標(biāo).

分析 (1)依題意可設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$,求出右焦點F($\sqrt{{a}^{2}-2}$,0),由點到直線距離公式能求出a,由此能求出所求橢圓的方程.
(2)設(shè)P(x,y),由三角形面積為1,得:$\frac{1}{2}•2\sqrt{2}•|y|=1$,由此能求出點P的坐標(biāo).

解答 解:(1)依題意可設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$,則右焦點F($\sqrt{{a}^{2}-2}$,0),
由題設(shè)$\frac{|\sqrt{{a}^{2}-2}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=3$,解得a2=4,
故所求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$.
(2)設(shè)P(x,y),由三角形面積為1,
得:$\frac{1}{2}•2\sqrt{2}•|y|=1$,解得y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$,
代入橢圓,得$x=±\sqrt{3}$,
∴點P的坐標(biāo)有四個,分別為(-$\sqrt{3}$,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$),(-$\sqrt{3}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$),($\sqrt{3}$,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$),($\sqrt{3},\frac{\sqrt{2}}{2}$).

點評 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查點的坐標(biāo)的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意橢圓性質(zhì)和點到直線的距離公式的合理運用.

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