Question

如圖，已知PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=

3

，點E，F(xiàn)分別是BC，PB的中點．
（Ⅰ）求三棱錐P-ADE的體積；
（Ⅱ）求證：AF⊥平面PBC；
（Ⅲ）若點M為線段AD中點，求證：PM∥平面AEF．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得PA為三棱錐P-ADE的高，由此能求出三棱錐P-ADE的體積．
（Ⅱ）由已知得PA⊥BC，BC⊥平面PAB，BC⊥AF，由此能證明AF⊥平面PBC．
（Ⅲ）連結(jié)BM交AE于N，連結(jié)PM，F(xiàn)N．由已知得四邊形AMEB是平行四邊形，由此能證明PM∥平面AEF．

解答： （Ⅰ）解：因為PA⊥平面ABCD，
所以PA為三棱錐P-ADE的高．（2分）
S△ADE=

1

2

×

3

×1=

3

2

，
所以VP-ADE=

1

3

×

3

2

×1=

3

6

．（4分）
（Ⅱ）證明：因為PA⊥平面ABCD，
BC?平面ABCD，所以PA⊥BC，
因為AB⊥BC，AB∩PA=A，所以BC⊥平面PAB，
因為AF?平面PAB，所以BC⊥AF．（6分）
因為PA=AB，點F是PB的中點，所以PB⊥AF，
又因為BC∩PB=B，
所以AF⊥平面PBC．（8分）
（Ⅲ）證明：連結(jié)BM交AE于N，連結(jié)PM，F(xiàn)N．
因為四邊形ABCD是矩形，所以AD∥BC，且AD=BC，
又M，E分別為AD，BC的中點，
所以四邊形AMEB是平行四邊形，
所以N為BM的中點，又因為F是PB的中點，
所以PM∥FN，（10分）
因為PM?平面AEF，NF?平面AEF，
所以PM∥平面AEF．（12分）

點評：本題考查三棱錐P-ADE的體積的求法，考查AF⊥平面PBC的證明，考查PM∥平面AEF的證明，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．