Question

20．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N）．
（Ⅰ）試判斷數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是否為等差數(shù)列．
（2）求數(shù)列{$\frac{2n+5}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （I）a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N）．可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=3，即可得出．
（2）由（I）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，可得$\frac{2n+5}{{a}_{n}}$=6n²+11n-10，利用1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，及其等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N）．
∴a_n≠0．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=3，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為3．
（2）由（I）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，
∴$\frac{2n+5}{{a}_{n}}$=（3n-2）（2n+5）=6n²+11n-10，
∵1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，
∴數(shù)列{$\frac{2n+5}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和=6×$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$+11×$\frac{n（n+1）}{2}$-10n
=$\frac{n（n+1）（4n+13）}{2}$-10n．
=$\frac{4{n}^{3}+17{n}^{2}-7n}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了結(jié)論1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$及其等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．