Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n²，a₁=2．
（1）證明：數(shù)列{1+log₂a_n}為等比數(shù)列并求通項公式；
（2）證明：$\frac{1}{1+lo{g}_{2}{a}_{1}}$+$\frac{1}{1+lo{g}_{2}{a}_{2}}$+…$+\frac{1}{1+lo{g}_{2}{a}_{n}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）兩邊取對數(shù)，再由等比數(shù)列的定義和通項公式，即可得證；
（2）由等比數(shù)列的求和公式和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 證明：（1）a_n+1=2a_n²，
即有l(wèi)og₂a_n+1=1+2log₂a_n，
即為1+log₂a_n+1=2（1+log₂a_n），
即有數(shù)列{1+log₂a_n}為首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
即有1+log₂a_n=2ⁿ；
（2）$\frac{1}{1+lo{g}_{2}{a}_{1}}$+$\frac{1}{1+lo{g}_{2}{a}_{2}}$+…$+\frac{1}{1+lo{g}_{2}{a}_{n}}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1．
則不等式成立．

點評 本題考查等比數(shù)列的定義和通項公式的運用，考查不等式的證明，以及構(gòu)造數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式的運用，屬于中檔題．