Question

已知向量

a

=（3，-4tanα），

b

=（4，5cosα）．
（1）若

a

∥

b

，求sinα的值；
（2）若

a

⊥

b

，且α∈（0，

π

2

），求cos（2α-

π

3

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示,平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量共線定理和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出；
（2）利用向量垂直于數(shù)量積的關(guān)系、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式、誘導(dǎo)公式即可得出．

解答： 解：（1）∵

a

∥

b

，∴15cosα=-16tanα，
∴15cos²α+16sinα=0，即15sin²α-16sinα-15=0，
解得sinα=-

3

5

或sinα=

5

3

（舍去），
∴sinα=-

3

5

．
（2）∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=0，即12-20tanαcosα=0，
∴12-20sinα=0，即sinα=

3

5

，
∵α∈(0，

π

2

)，∴cosα=

4

5

，
∴sin2α=2sinαcosα=

24

25

，cos2α=1-2sin2α=

7

25

，
∴cos(2α-

π

3

)=

1

2

cos2α+

3

2

sin2α=

1

2

×

7

25

+

3

2

×

24

25

=

7+24 3

50

．

點(diǎn)評：本題考查了向量共線定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、向量垂直于數(shù)量積的關(guān)系、倍角公式、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．