Question

15．如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD．若∠BPC=90°，PB=$\sqrt{2}$，PC=2則四棱錐P-ABCD的體積最大值為$\frac{2\sqrt{6}}{9}$．

Answer 1

分析 如圖所示，作PO⊥AD，垂足為O，作OG⊥BC，垂足為G，連接GP．利用面面垂直的性質(zhì)定理可得：PO⊥平面ABCD．在Rt△BPC中，可得$PG=\frac{BP•PC}{BC}$．設(shè)AB=x，則OG=x，可得PO=$\sqrt{P{G}^{2}-{OG}^{2}}$，利用V_P-ABCD=$\frac{1}{3}PO•{S}_{ABCD}$，及其基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：如圖所示，作PO⊥AD，垂足為O，作OG⊥BC，垂足為G，連接GP．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．
在△BPC中，∵∠BPC=90°，PB=$\sqrt{2}$，PC=2，∴BC=$\sqrt{B{P}^{2}+P{C}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
∴$PG=\frac{BP•PC}{BC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
設(shè)AB=x，則OG=x，
PO=$\sqrt{P{G}^{2}-{OG}^{2}}$=$\sqrt{\frac{4}{3}-{x}^{2}}$，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}PO•{S}_{ABCD}$=$\frac{1}{3}\sqrt{\frac{4}{3}-{x}^{2}}×$$\sqrt{6}$x，
∴V²=$\frac{2}{3}（\frac{4}{3}-{x}^{2}）{x}^{2}$$≤\frac{2}{3}（\frac{\frac{4}{3}-{x}^{2}+{x}^{2}}{2}）^{2}$=$（\frac{2}{3}）^{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{\sqrt{6}}{3}$時取等號．
∴V_P-ABCD≤$\frac{{2\sqrt{6}}}{9}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．