Question

7．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{t}{x}$有如下性質(zhì)：如果常數(shù)t＞0，那么該函數(shù)（0，$\sqrt{t}$]上是減函數(shù)，在[$\sqrt{t}$，+∞）上是增函數(shù)．
（1）已知h（x）=x+$\frac{4}{x}$，x∈[1，8]，求函數(shù)h（x）的最大值和最小值．
（2）已知f（x）=$\frac{4{x}^{2}-12x-3}{2x+1}$，x∈[0，1]，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域．

Answer 1

分析 （1）利用已知明確h（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞減，在x∈[2，8]上單調(diào)遞增，則在x=2時(shí)取最小值，比較1與8的函數(shù)值得到最大值；
（2）把2x+1看成整體，研究對勾函數(shù)的單調(diào)性從而求出函數(shù)的值域，以及利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)得到該函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：（1）由已知可知，函數(shù)h（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞減，在x∈[2，8]上單調(diào)遞增，
因?yàn)閔（1）=5＜h（8）=8.5，所以當(dāng)x=8時(shí)，h（x）_max=h（8）=8.5，
當(dāng)x=2時(shí)，h（x）_min=h（2）=4
（2）y=f（x）=$\frac{4{x}^{2}-12x-3}{2x+1}$=2x+1+$\frac{4}{2x+1}$-8，
設(shè)u=2x+1，x∈[0，1]，1≤u≤3，則y=u+$\frac{4}{u}$-8，u∈[1，3]，
由已知性質(zhì)得，
當(dāng)1≤u≤2，0≤x≤$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，所以遞減區(qū)間為[0，$\frac{1}{2}$]，
當(dāng)2≤u≤3，$\frac{1}{2}≤x≤1$時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，所以遞增區(qū)間為[$\frac{1}{2}$，1]，
由f（0）=-3，f（$\frac{1}{2}$）=-4，f（1）=-$\frac{11}{3}$，得f（x）的值域?yàn)閇-4，-3]．

點(diǎn)評 本題主要考查了利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，以及函數(shù)恒成立問題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和運(yùn)算求解的能力．