Question

5．已知圓C與y軸相切，圓心在x軸下方并且與x軸交于A（1，0），B（9，0）兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l過點(diǎn)A（1，0）且被圓C所截弦長(zhǎng)為6，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意，r=5，設(shè)圓心坐標(biāo)為（5，b）（b＜0），求出b，可求圓C的方程；
（2）分兩種情況求解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，只需要驗(yàn)證即可；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，根據(jù)弦的一半、半徑和弦心距構(gòu)成直角三角形來求直線的斜率．

解答 解：（1）由題意，r=5，設(shè)圓心坐標(biāo)為（5，b）（b＜0），則9-1=2$\sqrt{25-^{2}}$，
∵b＜0，∴b=-3，
∴圓C的方程（x-5）²+（y+3）²=25；
（Ⅱ）直線l過點(diǎn)A（1，0）且被圓C所截弦長(zhǎng)為6，圓心到直線的距離等于4．
當(dāng)斜率不存在時(shí)，x=1，符合題意；
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=k（x-1），
即kx-y-k=0，
∵圓心到直線距離為4，
∴$\frac{|5k+3-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4，∴k=-$\frac{7}{24}$
∴直線l的方程為7x+24y-7=0
故所求直線l為x=1，或7x+24y-7=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用待定系數(shù)法求圓的方程，通常用一般式計(jì)算要簡(jiǎn)單；另外圓與直線相交時(shí)，半徑、弦長(zhǎng)的一半和弦心距的關(guān)系，注意用到斜率考慮是否存在問題，這是易錯(cuò)出．