Question

已知公比為q（0＜q＜1）的無(wú)窮等比數(shù)列{a_n}各項(xiàng)的和為9，無(wú)窮等比數(shù)列{a_n²}各項(xiàng)的和為

81

5

．
（1）求數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁和公比q；
（2）對(duì)給定的k（k=1，2，3，…，n），設(shè)數(shù)列T^（k）是首項(xiàng)為a_k，公差為2a_k-1的等差數(shù)列，求數(shù)列T^（2）的通項(xiàng)公式及前10項(xiàng)的和．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的兩個(gè)無(wú)窮等比遞縮數(shù)列，利用教材中所給的各項(xiàng)之和的公式寫出關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程，解方程即可．
（2）根據(jù)第一問(wèn)做出的結(jié)果，寫出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，進(jìn)而寫出數(shù)列的通項(xiàng)，求出數(shù)列的前10項(xiàng)之和，得到結(jié)果．

解答：解：（1）依題意可知，

a1 1-q =9 a12 1-q2 = 81 5

?

a1=3 q= 2 3

（2）由（1）知，
數(shù)列T^（2）的首項(xiàng)為t₁=a₂=2，公差d=2a₂-1=3
T^（2）=2+（n-1）×3=3n-1（n∈N^*）
S10=10×2+

1

2

×10×9×3=155，
即數(shù)列T^（2）的前10項(xiàng)之和為155．

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)數(shù)列求和的問(wèn)題，這種問(wèn)題在解題時(shí)注意看清數(shù)列的特征，看出數(shù)列是一個(gè)特殊數(shù)列，可以應(yīng)用數(shù)列的求和公式做出結(jié)果，這是求數(shù)列的和的題目中比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題．