Question

已知公比為q（0＜q＜1）的無窮等比數(shù)列{a_n}各項(xiàng)的和為9，無窮等比數(shù)列{a_n²}各項(xiàng)的和為．
（1）求數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁和公比q；
（2）對(duì)給定的k（k=1，2，3，…，n），設(shè)T^（k）是首項(xiàng)為a_k，公差為2a_k-1的等差數(shù)列，求T^（2）的前2007項(xiàng)之和；
（3）（理）設(shè)b_i為數(shù)列T^（i）的第i項(xiàng)，S_n=b₁+b₂+…+b_n：
①求S_n的表達(dá)式，并求出S_n取最大值時(shí)n的值．
②求正整數(shù)m（m＞1），使得存在且不等于零．
（文）設(shè)b_i為數(shù)列T^（i）的第i項(xiàng)，S_n=b₁+b₂+…+b_n：求S_n的表達(dá)式，并求正整數(shù)m（m＞1），使得存在且不等于零．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可以出一個(gè)方程組，解這個(gè)方程組，得到數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁和公比q．
（2）由，知數(shù)列T^（2）的首項(xiàng)為t₁=a₂=2，公差d=2a₂-1=3，由此能求出T^（2）的前2007項(xiàng)之和．
（3）（理）b_i=a_i+（i-1）（2a_i-1）=（2i-1）a_i-（i-1）=；①；由此計(jì)算得，所以S_n當(dāng)n=5時(shí)取最大值．②=，由此分類討論進(jìn)行求解．
（文）b_i=a_i+（i-1）（2a_i-1）=（2i-1）a_i-（i-1）=；；=，由此分類討論進(jìn)行求解．
解答：解：（1）依題意可知，．
（2）由（1）知，，所以數(shù)列T^（2）的首項(xiàng)為t₁=a₂=2，公差d=2a₂-1=3，，即數(shù)列的前2007項(xiàng)之和為6043077．
（3）（理）b_i=a_i+（i-1）（2a_i-1）=（2i-1）a_i-（i-1）=；
①；
由，解得n=2，
計(jì)算可得，
因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，b_n＞b_n+1，所以S_n當(dāng)n=5時(shí)取最大值．
②=，
當(dāng)m=2時(shí)，=-，當(dāng)m＞2時(shí)，=0，所以m=2．

（文）b_i=a_i+（i-1）（2a_i-1）=（2i-1）a_i-（i-1）=；；=，
當(dāng)m=2時(shí)，=-，當(dāng)m＞2時(shí)，=0，所以m=2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的極限和運(yùn)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理運(yùn)用．