Question

【題目】如圖平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=2，M為CD邊的中點，沿BM將△CBM折起使得平面BMC⊥平面ABMD．

（1）求四棱錐C﹣ADMB的體積；
（2）求折后直線AB與平面AMC所成的角的正弦．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知∠DAB=60°，AB=AD=2，

M為邊CD的中點，

∴△CMB是等邊三角形，

取MB的中點O，則CO⊥MB，

又平面BMC⊥平面ABMD于MB，

則CO⊥平面ABMD，且CO= ．

= = ，

∴V四棱錐C﹣ADMB=

（2）解：∵∠DAB=60°，AB=AD=2，

M為邊CD的中點，

∴AM=2 ，BM=2，

∴AM⊥BM，

又平面BMC⊥平面ABMD交線為BM，

∴AM⊥平面CMB，

∴平面AMC⊥平面BMC于MC，

由△CMB是等邊三角形，取CM的中點E，連接BE，則BE⊥CM，

∴BE⊥平面AMC，連接EA，則∠BAE是直線AB與平面AMC所成的角，

∴sin∠BAE= = = ．

【解析】（1）由已知得△CMB是等邊三角形，取MB的中點O，則CO⊥MB，又平面BMC⊥平面ABMD，CO= ，求出底面梯形的面積，再利用棱錐的體積公式解答；（2）利用面面垂直的性質和判定，找到折后直線AB與面AMC所成的角的平面角，然后求正弦值即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間角的異面直線所成的角的相關知識，掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．